з англійської переклала Анастасія Добровольська
за редакцією Тараса Березюка
Як можливо те, що існує онтологія математичних об’єктів, відокремлена від звичної онтології фізичних речей і звичної онтології речей ментальних?
Математика — найуспішніша і найбільш зріла з наук. Її перший великий твір — «Елементи» Евкліда, — написаний приблизно 2400 років тому, допоміг сформувати цю галузь науки і відкрити можливості її методів; до ХХ століття він слугував канонічним текстом у навчальній програмі з математики. Для порівняння, перша велика праця з фізики подібного рівня — «Начала» Ньютона —написана приблизно 300 років тому. А перший значний твір молодої науки біології — «Походження видів» Дарвіна — лише 150 років тому. Розвиток математики як дисципліни також був надзвичайно плідний, особливо протягом останніх трьох століть, і, можливо, лише впродовж останнього століття інші науки почали досягати рівня накопичення знань, властивого математиці. Крім того, в математиці існує майже загальна згода стосовно її методів та їх застосування. Ми вимагаємо доказів; і на практиці зазвичай немає розбіжностей щодо їх існування. В інших науках, навпаки, вчені схильні сперечатися щодо значення того чи того експериментального відкриття або стосовно теорії, якій варто віддати перевагу.
Незважаючи на великий успіх і зрілість, основи математики як дисципліни оповиті проблемами й таємницями. Як можливо, що існує онтологія математичних об’єктів (чисел, множин, функцій тощо), явно відокремлена від звичної онтології фізичних речей (з її стільцями та столами або молекулами й атомами) і від звичної онтології ментальних речей — з переконаннями і бажаннями чи задоволеннями і болями? І навіть якщо існування такої онтології можливе, в який спосіб про неї говорити чи міркувати? Як зрозуміти, що означає бути натуральним числом, чи що означає для одного натурального числа бути наступником іншого? І навіть якщо можна говорити чи міркувати про онтологію математики, то яким чином її об’єкти пізнаються? Чи можемо бути певні, що кожне натуральне число має щонайбільше одного наступника, не кажучи вже про більш просунуті математичні доробки, наприклад останню теорему Ферма чи проблему чотирьох кольорів? Одним словом, як може існувати «третій» світ математичних об’єктів і як нам подолати прірву між психофізичним світом, в якому ми міцно закріпилися, і цим іншим світом?
У пошуках відповіді філософи математики тяжіють до одного з двох підходів. Одні вважають математику частиною людського буття. Математичні об’єкти певним чином створені нами — можливо, в такий же спосіб, як вигадані об’єкти — і ми, говорячи або міркуючи про математику, опосередковано говоримо чи міркуємо про себе самих. Отже, цей третій світ не є таємницею, оскільки його об’єкти є чи виникають з наших думок; і немає жодної загадки в подоланні прірви між нашим світом і світом математики, адже жодної прірви, яку потрібно долати, не існує.
Інші філософи вважали математику чимось окремим від нас —чимось незалежним від наших думок і почуттів. Але в цьому разі постає прірва між нашим і математичним світом, яку потрібно подолати; і подібно до того, як ми можемо осягнути й отримати знання про фізичний світ через сприйняття, ми можемо осягнути й отримати знання про математичний світ через певного роду інтелектуальний аналог сприйняття. Отже, я можу споглядати навколишній світ і цим здобувати знання про його об’єкти і їх взаємозв’язки так само, як можу дивитись на серію натуральних чисел або континуум точок на прямій, і таким чином отримати знання про математичний світ, що постає переді мною.
Обидві перспективи стикаються з серйозними труднощами. Перша, «конструктивістська», позиція перешкоджає математичній практиці. Ми хотіли б сказати, що гіпотеза про прості числа-близнюки або однозначно вірна, або однозначно хибна. Але як ми можемо бути так упевнені в цьому, якщо її істинність чи хибність якимось чином залежить від нас? Якщо ми не в змозі розв’язати проблему, тоді немає нічого, в чому полягає істинність чи хибність гіпотези.
Другій, «платоністській» позиції вдалося подолати цю проблему, адже якщо числовий ряд існує, істинність чи хибність гіпотези про прості числа-близнюки буде доведено тим чи тим способом. Але платоніки так і не змогли задовільно пояснити, чим саме ця інтелектуальна форма сприйняття є або як вона заторкує математичні об‘єкти і виробляє знання про відношення між ними.
У світлі цих та інших проблем може виникнути бажання зайняти проміжну позицію. Ми знаходимось перед суворим вибором між розумінням об’єктів математики як таких, що «винаходять», з одного боку, і «відкривають», з іншого. Але чи може бути істина десь посередині? Чи можуть об’єкти математики бути частково продуктом винаходу, а частково відкриттям?
У зв’язку з цим покійний видатний англійський філософ Майкл Дамміт припустив, що об’єкти математики можна певним чином «підштовхнути» до існування. Таким чином, вони не є повністю витвором нашого ума, оскільки має існувати щось, що можна «підштовхнути», водночас ці об’єкти не є повністю незалежними від нас, адже ми повинні їх «підштовхнути», щоби вони існували.
Це гарна метафора, але й сам Дамміт усвідомлював, що вона викликає багато запитань. Що саме «підштовхується»? В чому полягає цей процес та до яких результатів він призводить? Якщо ми підштовхнемо сплячу собаку палицею, він почне прокидатися (і, можливо, гарчати). Але чим у контексті математики є собака, палиця і пробудження?
У цій статті я хочу запропонувати спосіб розуміння цієї метафори. Я вірю, що таким чином ми дійдемо до набагато прийнятнішої концепції математики — такої, що не перешкоджає знаній нам математичній практиці і не створює великої таємниці з процесу отримання знання про математичні факти.
Але перш ніж перейти до деталей, слід переглянути деякі ключові моменти з історії математики. На початку були натуральні числа —1, 2, 3, …. Їх використовують для підрахунку: двох горлиць, трьох французьких курей, чотирьох пташок[1]. Пізніше були введені нуль і від’ємні числа. Після цього — раціональні числа: відношення одного цілого числа до іншого цілого додатного числа. Потім —ірраціональні числа, що є межами необмежених послідовностей. І вже згодом з’являються комплексні числа — ті, що можна створити з i, квадратного кореня з -1[2].
Усі ці новоутворення мають своє застосування. Введення від’ємних чисел дозволяє підтримувати приємну ілюзію, що у нас є гроші в банку, скажімо, -1000$, коли насправді ми в боргах; а введення раціональних чисел дозволяє нескінченно витрачати гроші, починаючи з 1 ¢, потім ½ ¢, потім ¼ ¢ і так далі до нескінченності. Якщо серйозніше, ці різноманітні розширення дозволяють забезпечити порядок і єдність у різних галузях математики. Наприклад, рівняння, які інакше не можна було б розв’язати, тепер мають розв’язок, а лінії або площі, які інакше не можна було б виміряти, тепер мають довжину чи розмір.
Але що саме відбувається, коли ми подібним чином розширюємо систему числення, і що виправдовує ці розширення? На перший погляд здається, що ці послідовні розширення системи числення підтверджують конструктивістську картину сприйняття математики, згідно з якою математичні об‘єкти є творіннями наших рук. Нам потрібне число, додавання якого до 3 дасть 0? Вигадайте таке число і назвіть його -3. Потрібне число, яке при множенні на 3 дасть 1? Вигадайте таке число і назвіть його ⅓. Потрібне число, що є квадратним коренем з 2? Візьміть таке число між раціональними числами, квадрат яких менший за 2, та раціональними числами, квадрат яких більший за 2. У всіх цих випадках складається враження, ніби різні типи чисел з’являлися тоді, коли в них виникала потреба. Також видається, що єдиним обмеженням для введення нових типів чисел є те, що їх існування має бути логічно несуперечним. Наприклад, якщо припущення про існування від’ємних цілих чисел несуперечне, то можна зробити висновок, що вони існують; аналогічно: якщо припущення про існування раціональних, дійсних чи комплексних чисел несуперечне, то вони існують. Звідси вислів, що в математиці існувати — означає бути можливим.
Незважаючи на те, що конструктивістська позиція здається найбільш відповідною реальній математичній практиці, філософи, котрі вперше розглянули це питання в другій половині ХІХ–на початку ХХ століть, а також більшість сучасних математичних праць зазвичай займали і займають іншу позицію. Ці філософи — я маю на увазі в основному Фреґе, Рассела і Вайтгеда — вважали, що різнобічні розширення числової системи взагалі не є розширеннями. Не було попередньо усталеної області чисел, куди потім додавали цілі і раціональні числа. Імовірніше, ці числа вже існували, а «розширення» системи числення означає не те, що ми вводимо нові об’єкти, а лише те, що приймаємо менш обмежувальну концепцію числа, до якої їх можна було б звести.
Уявімо ситуацію. Припустімо, що я на вечірці і хтось каже «пива немає», маючи на увазі, що вдома немає пива. Я зауважую, що є трохи пива, маючи на увазі пиво в магазині. В цьому випадку я навряд чи вигадав новий п’янкий напій (якби ж це було так просто!). Я тільки менш обмежено поглянув на те, де цей напій можна знайти. Схоже у випадку з системою числення. Ми починаємо з дуже обмеженої концепції того, чим є число — концепції, в якій «число» означає «натуральне число». Поступово ми позбуваємось обмеження, і тоді «число» означає «ціле число»; схоже для раціональних, дійсних і комплексних чисел. Нічого не додаючи, ми змінюємо те, що маємо на увазі під «числом».
Мало того, що погляди згаданих філософів (і тогочасних підручників) не відповідали найприроднішому погляду на процеси математики, з них випливають ще й декілька дивних наслідків. Адже що ж це насправді були за «нові» числа — цілі, раціональні, дійсні та комплексні? Якщо вони вже існували [до нашого втручання], то нам потрібна підстава для того, щоб їх помислити, — підстава, не пов’язана з їх роллю як чисел. Тому існувала тенденція ототожнювати їх з певним іншим типом об’єктів — наприклад, множинами — у реальність яких ми мали незалежні підстави вірити і які були достатньо численними, щоби виконувати різні ролі, потрібні для різних типів чисел. Отже, раціональні числа розглядали як класи еквівалентності впорядкованих пар цілих чисел («співвідношення»), дійсні числа — як «перерізи Дедекінда», а комплексні числа як упорядковані пари дійсних чисел (перше — як дійсну частину, а друге — як уявну).
Але ці визначення досить «довільні»; вони додають щось цілком необґрунтоване до нашого розуміння математичних об’єктів. Наприклад, немає жодної причини вважати раціональне число класом еквівалентності, а не репрезентантом цього класу (скажімо, таким, у якому чисельник і знаменник не мають спільного множника); і навіть якщо раціональне число вважається класом еквівалентності впорядкованих пар, то чому слід вважати його впорядкованою парою, в якій чисельник ставиться першим, а знаменник другим, а не навпаки?
Крім того, якщо ми хочемо дійти згоди стосовно чисел кожного типу, де їх загальна природа по суті однакова, то на кожному етапі розширення системи числення нам доведеться визнати існування копій чисел попереднього етапу. Тобто існуватиме не тільки натуральне число 1, а й раціональне число 1 (інакше кажучи, набір упорядкованих пар цілих чисел виду (n, n)), якщо раціональні числа вважатимуться класами еквівалентності цілих чисел. Таким же чином існуватиме дійсне число 1, тобто переріз Дедекінда, що складається з раціональних чисел, які менші або рівні 1, і раціональні числа більші за 1; так само ж існуватиме й комплексне число 1, тобто впорядкована пара (1, 0). Можна було б подумати, що існує єдине число 1 і що, розширюючи систему числення, ми щось додаємо до чисел, які вже існують. Але на сьогодні це не так. Існує стільки одиниць, скільки є типів чисел. Розширюючи систему числення ми нічого не додаємо до вже наявних чисел, а замінюємо їх чимось новим. Якби дійсна математична практика мала хоч якусь вагу, нинішню перспективу давно відкинули б.
Що ще гірше, навіть не ясно, чи має теперішній підхід епістемологічну перевагу над постуляційним. Візьмімо дійсні числа і розгляньмо «розрив» у раціональних числах: якщо, з одного боку, будуть всі раціональні числа, квадрат яких менший за 2, а з іншого — усі раціональні числа, квадрат яких більший за 2. Виникає бажання «заповнити» цей розрив ірраціональним числом, квадратним коренем з 2. Згідно з традиційною перспективою в такому разі нам потрібно постулювати ірраціональне число, щоби заповнити прогалину. Але згідно зі стандартним сучасним підходом, ми звертаємось до вже наявних об’єктів, наприклад, до множини раціональних чисел, квадратний корінь якої менший за 2, щоби заповнити розрив. Відтак існування об’єкта, який заповнює прогалину, стає не більш спірним, ніж існування множини.
Але які є підстави вважати існування множини менш проблематичним, аніж звичайно постульованого числа, що заповнює прогалину? Зрештою, постульоване число проводить межу між числами, квадрат яких менший за 2, і такими, чий квадрат більший за 2. Але множина [раціональних чисел] діє більш-менш так само; вона відмежовує раціональні числа, квадрат яких менший за 2, від усіх інших. Справді, можна піти назустріч тому, хто вважає, що існування множини виникає з акту постулювання, як і з існування ірраціонального числа. В одному випадку ми хочемо розширити область чисел, а в іншому — область множин; і нам здається виправданим думати, що існує такий об’єкт, який може заповнити «прірву» як в області чисел, так і в області множин.
Якщо я не помиляюся, то стандартна перспектива погано пояснює, як ми насправді розширюємо числову систему, або обґрунтовує наші дії. Але чи існує більш прийнятна перспектива — така, що може обґрунтувати те, що введення нових типів чисел справді можливе, як і розширення системи числення?
Тут ми стикаємося з величезною проблемою, яка приведе нас до суті нашої спроби зрозуміти метафору штовхання. Адже розширюючи систему числення, ми хочемо, щоби нові типи чисел уже не були в ній наявні. Але як це можливо? Як ми можемо створювати числа з нічого?
Однією з можливостей є те, що, постулюючи різні типи чисел, ми створюємо їх приблизно так само, як автор створює вигаданих персонажів. Але дивно вважати, що ірраціональні числа взагалі не існували до того, як їх постулювали, чи взагалі думати, що вони існують у часі. Що, як багато еонів тому наші попередники вже постулювали ірраціональні числа? Чи в такому разі наше постулювання чисел неможливе? Чи, можливо, вони постулювали свої ірраціональні числа, а ми постулюємо свої?
Очевидно, що ця гіпотеза неправдоподібна. Але що тоді відбувається? У якому сенсі числа, які ми додаємо до системи числення, ще не існують у ній, і в якому сенсі їх постулюють?
Щоб відповісти на це питання, варто звернутися до іншого розділу історії математики. Розглядаючи теорію трансфінітних чисел Кантора, Рассел наштовхнувся на парадокс, який тепер названий його іменем. Звичайно, для будь-якої умови має існувати набір об’єктів, які відповідають цій умові. Але розгляньмо тепер умову, згідно з якою існує множина, що не є частиною себе самої. Повинна бути множина об’єктів, котрі відповідають умові. Тоді існуватиме множина, що включатиме ті множини, які не є частинами себе самих. Чи належить ця множина собі самій? Якщо так, то вона відповідає умові і не належить самій собі. Якщо ні, то вона не відповідає умові, а отже, належить самій собі. В будь-якому разі виникає суперечність! Але де ж помилка? Один зі способів відповісти на цей парадокс —визнати помилку в тому, що ми думаємо, ніби можемо кількісно оцінити всі множини. Повернімося до вечірки. Людина, котра сказала мені, що пива немає, лише визначила кількість пива в будинку. Я, у відповідь, визначив кількість пива в районі. Але, звичайно, ми можемо порахувати все пиво, що існує — не лише тут чи там, а будь-де. Тож можна припустити, що ми в змозі визначити кількість всіх наявних множин — не лише множин речей, чи множин множин речей, а й усіх можливих множин.
Сучасна відповідь на парадокс Рассела стверджує, що ця думка — що можна порахувати абсолютно все — є помилковою. До всього, що визначено кількісно, я можу додати щось іще. Я можу, наприклад, завжди порахувати множину всіх об’єктів, котрі я порахував раніше і які відповідають деяким заздалегідь установленим умовам. Зокрема, я можу включити в область квантифікації множину всіх тих множин, які я раніше визначив такими, що вони не є частина самих себе. Але тоді виникає суперечність, адже ця множина не може бути одним із об’єктів, які я раніше порахував. Таким чином, область квантифікації над об’єктами, які можливо підрахувати, завжди можна розширити, тож визначення кількості абсолютно всього стає неможливим.
Тут постає небезпека певного роду трансцендентної ілюзії, ілюзії нашої здатності вийти за межі ситуації, в якій ми неодмінно опиняємося. З огляду на нескінченні можливості для розширення області квантифікації, я відчуваю, ніби можу квантифікувати над усіма областями, яких можна досягти шляхом таких розширень. І якщо я можу квантифікувати над усіма областями, то я можу кількісно оцінити всі об’єкти в них, і таким чином порахувати абсолютно все.
Але це все одно, що думати, ніби ми можемо оглянути весь простір ззовні. Неможливо уникнути місця в просторі так само, як не уникнути можливості розширення області квантифікації. І як би старанно ми не намагалися перестрибнути через усі області, за допомогою яких ми хотіли б розширити дану нам область, завжди залишатиметься можливість подальшого її розширення. Мета досягнення абсолютно необмеженої форми квантифікації завжди ухилятиметься від нашого уявлення. Ми ув’язнені в сутнісно обмеженій онтології подібно до того, як ув’язнені в просторі; і хоча ми завжди можемо розширювати свій горизонт і сприймати все більше і більше, для нас не існує такої точки зору, з якої цей горизонт зникає.
Тепер ми дійшли до кращого розуміння того, в якому сенсі нові типи чисел «ще не існують», коли розширюємо систему числення. Можна припустити, що спосіб розширення системи числення аналогічний способу розширення області множин. У будь-якому разі існує, так би мовити, потенціал для введення в область нових об’єктів потрібного типу, і цей потенціал реалізується шляхом прийняття відповідного рішення про введення цих об’єктів таким-то способом. Справа не в тому, що під «числом» розуміємо спершу натуральне число, потім —ціле число, а тоді — раціональне число, або що під «множиною» маємо на увазі множину речей спочатку, а після цього — множину речей чи множину множини речей. «Число» і «множина» завжди означають те саме. Але в будь-якому разі ми приймаємо більш інклюзивний погляд на те, які об’єкти відноситимемо до цих категорій.
Тепер ми можемо зрозуміти метафору собаки. Собака репрезентує потенціал розширення області квантифікації. Але як реалізується цей потенціал? Який механізм розширення області квантифікації і включення нових об’єктів? Ми відмовилися розглядати область як розширену — чи, можливо, слід сказати «псевдорозширену» — через прийняття більш ліберальних обмежень щодо її об’єктів. Але що натомість? Яким чином область примножується без будь-яких змін категорій об’єктів, котрі її визначають? Ми можемо зрозуміти метафору собаки, але як слід розуміти палицю, якою її штовхають?
Щоб відповісти на це питання, варто звернутися до іншої частини інтелектуальної історії — радше до інформатики, ніж до математики. Усі знайомі з ідеєю програми. Це набір інструкцій, що дозволяють комп’ютеру виконувати певні завдання, — наприклад, спрямувати ракету на ціль або розташувати слова за алфавітним порядком. Але як дізнатися, чи виконає програма своє завдання — чи вдасться їй навести ракету на ціль або розставити слова за алфавітним порядком? Важлива галузь інформатики займається розробкою методів верифікації того, чи виконає програма своє завдання; і один з таких методів — динамічне програмування (DPL) — мене у цьому контексті цікавить.
Я хочу запозичити (і модифікувати) дві ідеї з DPL. Перша — дуже проста ідея мови програмування, що дозволяє створити інструкції для бажаного функціонування комп’ютера. Розгляньмо інструкції, які можна дати в повсякденному житті, припустимо, дитині. Ви скажете: «Якщо хочеш вечеряти, то помий руки». Це форма умовної інструкції:
якщо …, то зроби —
Або ви можете сказати: «З’їж свій шпинат і випий молоко». Це складеного роду інструкція:
зроби — а потім зроби —
Або ви можете сказати: «Продовжуй робити домашнє завдання, поки не закінчиш». Це по суті ітеративна інструкція:
повторюй —
Ця інструкція — результат виконання умовної інструкції: «Якщо ти ще не закінчив, то продовжуй виконувати домашнє завдання», —вона вимагає ітерації певної дії до її повного завершення. Тобто якщо дитина не виконала своє завдання, вона має підкоритись умовній інструкції і продовжити виконання домашнього завдання. Якщо, продовжуючи виконувати домашнє завдання, протягом кількох секунд дитина не завершить, вона повинна знову скоритись умовній інструкції і продовжити роботу на ще кілька секунд; і так доти, доки (дасть Бог) домашнє завдання не буде виконано.
До трьох основних форм інструкцій від DPL — умовної, композиційної та ітеративної — я хочу додати ще дві. Я можу сказати своїй дитині: «Поцілуй усіх присутніх». Це форма загальної інструкції :
для всіх х зроби … х …
Це випливає з узагальнення умовної інструкції «якщо x присутній, поцілуй x». Отже, дитина має перевірити, чи присутні x, та поцілувати x, якщо x дійсно присутні.
Також я хочу додати просту форму інструкції. Досі запроваджені форми інструкції були складними, вони дозволили нам утворити складніші інструкції з простіших. Так, інструкція «з’їж шпинат» і «випий молоко» складається з двох простих: «з’їж шпинат» та «випий молоко». Але якщо немає цих простих інструкцій, з яких формують складні, то немає інструкцій взагалі.
Ось прості інструкції з наших прикладів: «з’їж свій шпинат», «поцілуй свою тітоньку», «продовжуй виконувати домашнє завдання». Вони явно недоречні в математичному контексті. Те, що нам потрібно, — форма інструкції, яку я називаю «Вступом», котрий дозволяє вводити новий об’єкт в область, відповідно до вже наявних об’єктів в цій області. Припустімо, для прикладу, що є яблуко і апельсин. Тоді я сформую таку інструкцію:
ввести множину, до якої входять яблуко і апельсин
Внаслідок з’явиться область, що містить яблуко і апельсин. Перепрошую за каламбур, але з яблука і апельсина отримаємо «грушу».
Авжеж, Вступ — це не інструкція, якої дитина чи навіть дорослий здатні дотриматися. Можемо уявити собі послужливого джина, який виконує такі операції. Але насправді це інтелектуальні операції, ефекту яких просто досягти шляхом відповідного викладення інструкцій.
Використовуючи ці різні форми інструкцій, ми отримуємо засоби, за допомогою яких уточнюємо, як саме область буде розширено. Маємо палицю, якою можна підштовхнути собаку.
Для ілюстрації давайте унаочнимо, як можна створити онтологію натуральних чисел. Припустимо, я накреслю таку інструкцію:
Є число; а потім продовжуй повторювати: для будь-якого числа нехай буде наступник.
Нумо подивимося, що станеться, коли джин виконає інструкцію. Спочатку він введе число (це буде 0). Тоді він виконає другий пункт інструкції і введе наступника для 0. Потім він знову виконає другий пункт інструкції і введе наступника для 1 (0 вже має наступника, тому в цьому випадку не потрібно нічого робити); він продовжуватиме доти, доки не будуть введені всі натуральні числа.
Цей приклад виходить за межі нашого первісного положення, що пояснює, як систему натуральних чисел можна доповнити раціональними, дійсними та іншими типами чисел. Адже ми ввели натуральні числа так само, як сподівалися ввести інші типи чисел. Справді, я вірю в те, що всю онтологію математики можна створити таким чином — починаючи абсолютно ні з чого і встановлюючи відповідні постулати, за допомогою яких можна ввести в систему об’єкти з різних галузей математики. Незалежно від того, чи це так, не складно побачити, як різні розширення системи числення можуть виникати внаслідок встановлення відповідного типу постулату.
Друге, що я хочу запозичити з DPL, — це ідіоми можливості і необхідності для опису поведінки програм. Припустімо, я запускаю програму на комп’ютері. Одна з можливостей полягає у відсутності результату — якщо «полетить» система чи опція завершення роботи відсутня. Програма може запропонувати мені зробити якусь нісенітницю, як-от розділити на 0, і в цьому разі вона вийде з ладу; або вона може постійно пропонувати мені зробити щось нескінченне (наприклад, порахувати натуральні числа одне за одним), — тоді робота ніколи не закінчиться. Інша можливість полягає в тому, що програма змістовно завершиться, з чого потім можна буде отримати інформацію.
Щоб описати ці потенційні результати, можна використовувати мову можливості та необхідності. Таким чином, сказати, що φ можливе для програми P, означає сказати, що існує можливий результат P, у якому φ істинне. А сказати, що φ для програми P необхідне, означає сказати, що кожен можливий результат P є таким, у якому φ істинне. Припустімо, наприклад, що P є програмою для обчислення факторіалу x, коли x = 5. Тоді сказати, що факторіал з P обов’язково дорівнює 60, означає сказати, що кожен можливий результат цієї програми буде таким, у якому факторіал дорівнюватиме 60; а сказати, що те чи інше з P можливе, означає сказати, що існує можливий результат цієї програми (оскільки в будь-якому можливому результаті те чи те матиме місце). Отже, в обидвох твердженнях йдеться про те, що програма завершиться, і коли вона завершиться, факторіал дорівнюватиме 60.
Я хотів би запропонувати використовувати подібну мову для опису поведінки постулатів щодо розширення області. Зокрема, ми зможемо сказати, що процедура, визначена постулатом, є виконуваною, тобто що вона завершиться розширенням області, і ми зможемо описати стан речей у момент її завершення. Обидва принципи є ключовими, якщо ми використовуємо метод процедурного постулювання.
Припустімо, що я сказав джину ввести об’єкт, який водночас і є, і не є числом. Якщо припустити, що джин виконав цю процедуру, то я можу зробити висновок, що цей об’єкт є і числом, і не числом. Очевидно незадовільний результат. Це випадок, коли процедуру явно не можна здійснити. Але інші випадки менш очевидні. Припустімо, я наказую джину продовжувати вводити числа, більші за всі попередньо введені. Тоді джин ніколи не зупиниться. Але припустимо, він зупиниться. «Ось, я закінчив», — каже він собі. Але ні, адже тепер він повинен ввести ще одне число — таке, що є більшим, аніж усі ті, які він ввів до цього.
Це означає, що перш ніж наказати джину щось зробити, я повинен переконатися, що це можна зробити. Я повинен показати, що процедура дійсно завершиться.
Це те, що я повинен зробити, перш ніж визначити процедуру. Але дещо я повинен зробити й після цього. Адже якщо припустити, що джин справився із завданням, то я захочу визначити, що в отриманій області істинне. Наприклад, я хотів би переконатися, чи в результаті виконання наведеної вище процедури ЧИСЛО отримана область буде такою, в якій кожне число матиме наступника.
Я розробив систему числення, що називається процедурною логікою, яка дозволяє виконувати вказані завдання. Це дає змогу ще до визначення процедури довести, що вона справді виконується; а після її виконання — встановити, що буде істинним.
Маючи під рукою процедурну логіку, можна розробити основу для всієї математики. Ми починаємо з абсолютно порожньої області об’єктів (хоча ви можете додати туди взуття, корабель та сургуч, якщо хочете). Потім демонструємо «послідовність» або виконуваність певних процедур для розширення області. З огляду на доведення несуперечності, ці процедури можна виконати, а аксіоми, що визначають отриману область, — встановити. І так далі.
Одним із чудових аспектів цього підходу є те, що математичні аксіоми є похідними самі від себе. Загальноприйнято вважати, що теоретичні аксіоми не можуть бути виведені з чогось більш фундаментального. Але це не зовсім так. Правда в тому, що виведення істини з істин починають з деяких аксіом або фундаментальних істин, що як такі не є похідними від інших істин. Але це все ще залишає відкритою можливість того, що фундаментальні істини можуть бути виведені з чогось, що не є істиною. І ось що відбувається в такому разі. Наприклад, ми встановлюємо постулат ЧИСЛО, який є радше інструкцією, аніж істиною; і, виклавши цей постулат, робимо висновок, що стандартні аксіоми теорії чисел дійсно виконуються.
Таким чином, сучасний підхід до математики по суті позбавлений аксіом. Важливим для математики є постулювання не істин, а процедур; і лише після того, як процедури визначено, ми можемо встановити істину.
Я почав із запитання «чи є математика результатом винаходу, чи відкриття?», на що тепер можу відповісти: і тим, і іншим. Можливості для розширення області ще належить відкрити. Вони, так би мовити, «десь там» і жодним чином не залежать від того, що ми робимо чи про що думаємо. Але те, як ми реалізуємо ці можливості, які процедурні постулати встановлюємо, щоби розширити область, залежить виключно від нас. Ми можемо розширювати числову систему тим чи тим способом, або розширювати область множин до будь-якої нескінченної межі, яку виберемо. Єдиним обмеженням є наша уява та те, що ми вважаємо доречним або приємним.
Автор
Кіт Файн — професор і срібний професор філософії та математики в Нью-Йоркському університеті. Текст написано на матеріалі однойменної доповіді в Бойсе в квітні 2011 року, за сприяння департаменту філософії штату Бойсе іРади гуманітарних наук Айдахо.
Вперше опубліковано:
Fine, Kit. “Mathematics: discovery or invention?” Think 11, no. 32 (2012): 11–27. https://doi.org/10.1017/S1477175612000188
[1] Цей підрахунок — алюзія на відому англійську різдвяну колядку «Twelve Days of Christmas», або «Дванадцять днів Різдва».
[2] Тут і далі курсив наш. — Прим. ред.
